TRANSFORMASI GEOMETRI

Pada dasarnya, kamu bisa mengetahui apa yang dipelajari dalam materi transformasi geometri dengan melihat asal katanya: Transformasi (perubahan) dan geometri (ilmu yang membahas mengenai bangun). Jadi, transformasi geometri adalah sebuah proses penentuan titik koordinat baru dari sebuah bangun pada sebuah bidang.

Transformasi geometri mulai dipelajari ketika seorang ilmuwan bernama Felix Klein mengemukakan teorinya dalam sebuah paper berjudul Erlangen Program. Felix Klein mengatakan bahwa geometri merupakan ilmu yang mempelajari mengenai bangun yang bisa ditransformasikan ke dalam bentuk yang berbeda dan sifat-sifat bangun tidak terpengaruh karena perubahan yang dilakukan.

A.    PERGESERAN (TRANSLASI)

Pergeseran atau translasi adalah sebuah proses yang dilakukan untuk meletakkan sebuah bangun di sebuah koordinat baru pada sebuah bidang. Kamu bisa membayangkan konsep pergeseran, yaitu jika kamu ingin memindahkan sebuah gedung dari koordinat A ke koordinat B tanpa merubah bentuk  dan ukuran dari gedung tersebut.

Contoh Soal :

1.      Memetakan titik A(2, 3) ke titik A'(-1, -2). Nilai x dan y berturut-turut adalah...
A. - 3 dan - 5
B. - 5 dan - 3
C. 3 dan - 3
D. 3 dan - 5
E. 5 dan 3
Pembahasan :
A(2 , 3) maka A'(2 + x, 3 + y) = A'(-1 , -2)
2 + x = - 1 maka x = -1 - 1 = -3
3 + y = - 2 maka y = - 2 - 3 = - 5

2.      Diketahui segitiga ABC dengan A(-4 , 0), B(1 , 1), C(-3 , 2). P adalah titik berat segitiga ABC. Jika translasi:

Memetakan segitiga ABC menjadi segitiga A'B'C' dan P'(2 , 3), maka translasi dan koordinat A', B' dan C' adalah...

A. A'(0 , 2), B'(5 , 3), C'(1 , 4)

B. A'(0 , 2), B'(4 , 3), C'(5 , 4)

C. A'(1 , 2), B'(5 , 3), C'(1 , 4)

D. A'(2 , 2), B'(4 , 3), C'(4 , 4)

E. A'(3 , 2), B'(5 , 3), C'(5 , 4)

Pembahasan

P = [(xA + xB + xC) / 3 , (yA + yB + yC) / 3]

P = [(-4 + 1 + (- 3) / 3 , (0 + 1 + 2) / 3]

P = [-6/3 , 3/3] = (-2 , 1)

Menentukan nilai x dan y

P(-2 , 1) = (-2 + x , 1 + y) = P'(2 , 3)

-2 + x = 2 maka x = 4

1 + y = 3 maka y = 2

Jadi translasi:

Menentukan bayangan A(-4 , 0) = A'(-4 + 4, 0 + 2) = A'(0 , 2)

Menentukan bayangan B(1 , 1) = B'(1 + 4 , 1 + 2) = B'(5 , 3)

Menentukan bayangan C(-3 , 2) = C'(-3 + 4 , 2 + 2) = C'(1 , 4)

B.     REFLEKSI ( Pencerminan )

Refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang akan dipindahkan. Jika sebuah bangun geometri dicerminkan terhadap sebuah garis tertentu, maka bangun bayangan kongruen dengan bangun semula. Pada transformasi refleksi, jarak titik pada bangun bayangan ke sumbu cermin sama dengan jarak titik pada bangun semula ke sumbu cermin.

Cara  melukis bayangan dari bangun geometri adalah seagai berikut:

1.      Tentukan terlebih dahulu sebuah garis yang akan bertindak sebagai sumbu cermin atau sumbu simetri.

2.      Dari tiap titik sudut geometri yang akan dilukis bayangannya, buatlah garis yang tegak lurus terhadap sumbu cermin.

3.      Lukislah titik-titik sudut bangun geometri bayangan dengan cara mengukur jarak antara titik sudut bangun geometri bayangan terhadap sumbu cermin sama dengan jarak titik sudut bangun geometri semula terhadap sumbu cermin.

4.      Hubungkan titik-titik sudut yang berdekatan sehingga diperoleh bangun geometri bayangan.

Persamaan transformasi pada bidang, yaitu :

1.      Persamaaan transformasi terhadap sumbu X

Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu X sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap sumbu X  ditentukan oleh hubungan:

x’ = x

y’ = -y

Ditulis : P(x,y) sumbu X  P’(x,-y)

2.      Persamaan transformasi terhadap sumbu Y

Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu Y sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap sumbu Y  ditentukan oleh hubungan:

x’ = -x

y’ = y

Ditulis : P(x,y) sumbu Y  P’(-x,y)

3.      Persamaan transformasi refleksi terhadap garis y = x

Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap garis y = x  sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap garis y = x  ditentukan oleh hubungan:

x’ = y

y’ = x

Ditulis : P(x,y) y = x  P’(y,x)

4.      Persamaan transformasi refleksi terhadap garis y = -x

Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap garis y = -x  sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap garis y = - x  ditentukan oleh hubungan:

x’ = -y

y’ = -x

Ditulis : P(x,y) y = -x  P’(-y,-x)

5.      Persamaan transformasi refleksi terhadap titik asal O(0,0)

Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap titik asal O(0,0) sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap titik asal O(0,0)  ditentukan oleh hubungan:

x’ = -x

y’ = -y

Ditulis : P(x,y) titik asal O  P’(-x,-y)

6.      Persamaan transformasi refleksi terhadap garis x = h

Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap garis x = h  sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap garis x = h  ditentukan oleh hubungan:

x’ = 2h -x

y’ = y

Ditulis : P(x,y) x = h  P’(2h-x, y)

7.      Persamaan transformasi refleksi terhadap garis y = k

Misalkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap garis y = k sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap garis y = k ditentukan oleh hubungan:

x’ = x

y’ = 2k-y

Ditulis : P(x,y) y = k  P’(x, 2k-y)

Percerminan Terhadap	Pemetaan	Matriks Transformasi
Sumbu x	(x,y) → (x,-y)
Sumbu y	(x,y) → (-x,y)
Garis x = y	(x,y) → (y,x)
Garis x = -y	(x,y) → (-y,-x)
Titik (0,0)	(x,y) → (-x,-y)
Garis x = k	(x,y) → (2k-x,y)
Garis y = k	(x,y) → (x,2k-y)
Garis y = mx tan α	x’ = x cos 2α + y sin 2α y’ = x sin 2α – y cos 2α

Contoh Soal:

1.      Bayangan titik A oleh refleksi terhadap titik (1, -2) adalah titik A’(3, 5). Tentukan koordinat titik A!

A. A(1, 9)

B. A(1, 1)

C. A(-9, 1)

D. A(-1, -9)

E. A(9, 1)

Pembahasan :

(x’ = 2 – x , x = 2 – x’)

(y’ = -4 – y , y = -4 – y’)

x = 2 – 3 = -1

y = -4 – 5 = -9             Jadi A(-1, -9)

2.      Tentukan bayangan garis 2x – y = 5 apabila dicerminkan terhadap garis y = -x!

A.    x – 2y + 5 = 0

B.     x + 2y – 5 = 0

C.     x – 2y – 5 = 0

D.    2x – 2y – 5 = 0

E.     2x – 2y + 5 = 0

Pembahasan :

(x, y) , (-y, -x)

(x’ = -y , y’ = -x)

2(-y’) – (-x’) = 5

x’ – 2y’ – 5 = 0                                   Jadi bayangan x – 2y – 5 = 0

C.    ROTASI ( Perputaran )

Rotasi adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang ketitik lainnya dengan cara memutar pada pusat titik tertentu. Titik pusat rotasi adalah titik tetap atau titik pusat yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan arah dan besar sudut rotasi. Titik pusat dapat berada di dalam, pada, atau di luar bangun geometri yang hendak dirotasi.

Arah rotasi disepakati dengan aturan bahwa jika perputaran berlawanan dengan arah jarum jam, maka rotasi bernilai positif, sedangkan jika perputaran searah jarum jam, maka rotasi bernilai negatif. Besarnya sudut putar rotasi menentukan jauhnya rotasi. Jauh rotasi dinyatakan dalam bilangan pecahan terhadap satu kali putaran penuh (360°) atau besar sudut dalam ukuran derajat atau radian.

Bayangan titik P (x,y) yang dirotasikan terhadap pusat O (0,0) sebesar θ adalah P’(x’ ,y’ ) dengan:

X’ = x cos θ – y sin θ

Y’ = x sin θ + y cos θ

Bayangan titik P (x,y) yang dirotasikan terhadap pusat A (a,b) sebesar θ adalah    P’(x’ , y’) dengan:

X’ – a = (x-a) cos θ – (y-b) sin θ

Y’ – a = (x-a) sin θ + (y-b) cos θ

Contoh Soal :

1.      Tentukan bayangan garis y = 5x + 4 oleh rotasi R(O, -90)

A. x – 5y – 4 = 0

B. x + 5y + 4 = 0

C. 5x + 5y – 4 = 0

D. – 5y – 4 = 0

E. x + 5y – 4 = 0

Pembahasan :

(x, y) ó (y, -x)

x’ = y  ,   y’ = -x

x’ = 5(-y’) + 4

x’ + 5y’ – 4 = 0                       Jadi bayangan x + 5y – 4 = 0

D.    DILATASI ( Perbesaran/ Perkalian)

Ditalasi adalah transformasi yang mengubah ukuran atau skala suatu bangun geometri (pembesaran/pengecilan), tetapi tidak mengubah bentuk bangunan tersebut. Bayangan titik P (x,y) oleh dilatasi [ O, k] adalah P’ (x’ ,y’) dengan X’ = kx dan y’=ky.

Selain dipindah, dicerminkan, dan diputar, transformasi juga bisa berbentuk pembesaran atau pengecilan yang disebut dilatasi. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun dinamakan faktor dilatasi. Faktor dilatis dilambangkan dengan k diman

• Jika k > 1 atau k
• Jika -1 < k < 1 maka diperkecil
• Jika k = 1 atau k = -1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran

Universitas Djuanda